Чтобы форма отправлялась в новое окно, достаточно для тега form дописать атрибут target="_blank"
А поводу ошибки в PHP - смотрите на что конкретно ругается. По крайней мере, в строке
PHP код:
echo '<button type="submit" name="vote_id" value="'.$site['vote_id'].'" class="btn btn-primary" role="button">Vote Now</button>';
ошибки нет (если, конечно, $site['vote_id'] существует).
