А какие у них в принципе шеллы доступны? Что если вызывать так:
Код:
/bin/bash -c $(/usr/local/php55/bin/php -f /home/username/website/academy/index.php --task=restapi --resource='api/hrreminder' --headers='{"Accept: application/json; version=1", "Content-Type: application/json; version=1; charset=UTF-8"}')
Видимо шаред хостинг уже вам недостаточен, пора переходить на контейнеры/вмки