Победил следующим образом:
Почему-то при переходе по страницам слетали переменные. То ли это на этом сайте так, то ли везде, не знаю.
Заново цепляем IE и всё работает.
Код:
$ie = (New-Object -COM "Shell.Application").Windows() `
| ? { $_.Name -eq "Internet Explorer" }
$doc = $ie.document
