[Blast]

Если закреплять не значок запущенного браузера, а просто исполняемый файл из папки где он установлен, то ведет себя так же?
Попробуй переустановку Cyberfox. Сначала открепи его значок с панели задач, убедись, что ярлык не остался в папке C:\Users\<пользователь>\AppData\Roaming\Microsoft\Internet Explorer\Quick Launch\User Pinned\TaskBar\
А также в реестре, в указанном выше разделе.
Затем удали и установи заново.
После установки закрепи значок.