Раздает (розданные) адреса DHCP сервер роутера.
Обрабатывает адреса из интернета DNS сервер роутера.
Но DNS сервер роутера ничего не знает о внутренней сети, он посылает пакеты (чтоб узнать) на днс сервера провайдера, которые находятся в интернете а не в сети, они могут все в интернете, но про вашу сеть DNS провайдера ничего не знают.
