[Сlassic]

При этом ярлык от "Одноклассников" получился с их "фирменной" иконкой", а остальные остались с иконкой от Гугл Хром »

Похоже это зависит от самого сайта, у одних они есть, у других - нет.Иконку можешь сменить в сойствах ярлыка.