В форме используются имена form_name, form_mail, form_message, а в скрипте уже почему-то field:
Код:
if ($field_name <> "" and $field_mail <> "" and $field_message <> "")
Исправьте переменные на $_POST['form_name'], $_POST['form_mail'], $_POST['form_message'] и заодно дальше в скрипте на эти же.
